Chapter 3 - 2. 시그마 공식

시그마 공식

 

1. 일반항이 다항식 형태인 시그마를 구하기 위한 노력

• $ \sum_{k=1} ^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} $

증명

 

부가설명

-> 일반항이 일차식 이라면 등차수열의 합 공식을 이용하는게 편해요

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $

증명

 

부가설명

 

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} k^3 = \{ \frac{n(n+1)}{2} \}^2 $

증명

 

부가설명

-> 고교 시험 문제에서는 잘 등장하지 않아요

-> 4차 이상은 내신 문제에서 본기억이 없어요.

-> $ ( \sum_{k=1} ^{n} k )^2 = \sum_{k=1} ^{n} k^3 $

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $

증명

 

부가설명

-> 식을 전개한뒤 시그마 성질을 이용하여 풀어도 되지만 귀찮으니 외워두면 좋아요

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} (k+a)(k+b) = \frac{n(n+1)(2n+1+3a+3b)}{6}+abn $

증명

 

부가설명

->  $ b=0 $ 인 경우까지는 외워두면 좋아요

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} $

증명

 

부가설명

 

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} (2k-1) = n^2 $

증명

 

부가설명

 

 

• $ \sum_{k=1} ^{n} k(n+1-k) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} $

증명

 

부가설명

 

 

 

 

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2. 일반항이 지수함수식, 분수식, 무리함수식 형태의 시그마를 구하기 위한 노력

•  $ \sum_{k=1} ^{n} a^k = \frac{a(a^n -1)}{a-1} $

증명

 

부가설명

-> 등비수열의 합 공식으로 기억하세요

 

•  $ \sum_{k=1} ^{n} {\frac{1}{(dk+a)(dk+a+bd)}} = \frac{1}{bd} ( \sum_{k=1} ^{n} \frac{1}{dk+a} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{dk+a+bd} ) $

증명

 

부가설명

 -> 여기서  $ d $는 자연수 이며, $d<n$인 경우는 시그마에서 앞에 $d$개 뒤에 $d$개를 더하면 된다.

 

•  $ \sum_{k=1}^{n} {\frac{ 1 } { \sqrt{dk+a} + \sqrt{dk+a+bd} } } = \frac{1}{bd} \{ - \sum_{k=1} ^{n} \sqrt{dk+a} + \sum_{k=1} ^{n} \sqrt{dk+a+bd} \} $

증명

 

부가설명

-> 여기서  $ d $는 자연수 이며, $d<n$인 경우는 시그마에서 앞에 $d$개 뒤에 $d$개를 더하면 된다.

 

 

증명 설명 - "www...."
예시문제 풀이 - "www..."